会激荡出怎样的火花？

她们的数学治学之路是否也曾迷茫和困惑？

她们又如何对待为学、为师、为母的每一个角色？

今日将与您分享北大数院章复熹老师与数学和讲台结缘的故事

听她讲述如何“爱上数学、爱上教学”

一、平凡之中出真知：“天才少女”的数学梦

学生时代的章复熹是个“乖小孩”，上课认真听讲，回家之后写作业、刷题。小学四年级时，父亲给她买了一本趣味数学的书，里面有很多需要奇思妙想的有趣案例，从此激发了她解决数学问题的兴趣，数学成绩也非常突出。

中学时代她就读于贵阳一中，平时经常跟其他数学成绩好的学生交流切磋、互补短长，他们不仅讨论老师课上所讲的内容，还一起做课外题。那时是上世纪90年代初，没有课外班，参考资料也很少，能找到的有一本大概叫《高中数学习题精编》的书，章复熹在作业之外，还喜欢做这上面的习题。后来，她与几位同学去参加了数学竞赛。

当时并没有专门的竞赛集训制度，由于习惯自主学习，不依赖老师，章复熹在考试中发挥出了很高的水平，取得了省内第一名的好成绩，杀入全国竞赛。进入全国比赛后，章复熹看了两本从同学那里借来的数学竞赛书，书中一道题的解题思路恰好在全国比赛时用到了，又考出了好成绩，成功入选国家集训队，并保送北大。章复熹坦言，这一路过来有不少运气的成分，毕竟没有受过系统、专门的数学训练，在高手云集的国家集训队里，她发现自己落后了一大截，“好多内容他们都学过，而我根本不知道，第一次考试只考了两分。”在上海经过一个月的集训，章复熹认识了很多优秀的同道中人，交到了很好的朋友，同学之间互相探讨的勤学氛围给了她很大帮助。

进入大学后，章复熹延续了过去良好的学习习惯，坚持课前预习和课后复习。据章复熹回忆，一个学期下来，自己的教材都是皱的、黑的，“翻了很多次，反复地阅读。” “那时北大的课程压力不太大，每学期基础的数学课也就三门，不像现在，有的学生一学期甚至要上六、七门数学课，而且渐渐成为一种风气，这背后确实存在一些隐患……”。“人的精力是有限的，如果学的内容太多，就容易吃不透、学不深，进而拖累后续课程的学习，不要盲从他人，要掌握好自己的节奏。”

大学毕业时，章复熹顺利保送研究生，主要研究随机动力系统。研究生初期的她感到迷茫，觉得研究内容太抽象，找不到感觉，遂跟导师钱敏先生商量换方向。钱先生学识渊博，建议她去学概率，概率论的模型会比较直观有趣些。从此，概率论成为她的专业研究领域。

进入博士阶段，真正从事数学研究时，章复熹面临前所未有的挑战。她发现做科研与单纯的学习需要不一样的方法和能力，课程分数高未必科研能力强，反之也一样。习题再难也是有答案的；而科研要解决的是悬而未决的问题，能不能实现是未知的，特别是长时间找不到头绪的时候，那种身心俱疲的感觉是前所未有的。“我曾经痛苦得好多天睡不着觉。” 导师的话让她安下心来，“做博士论文，就要有段时间天天睡不着觉，才能做出来。你要是每天都能睡着，那还叫读博士？”。

从博士阶段“熬”过来，章复熹有了很多做研究的心得体会：前期的文献爬梳工作至关重要，需要充分吸收前人研究成果，并有所创新和推进。读文献要讲究方法和效率：

“首先看摘要，之后刷引言，不光看结果，更要关注新的证明方法和新的数学思想。如果引言中提到了新的方法，那就有必要精读，作者的思路会为你自己的研究提供启发，这是科研工作的储备。一般来说文章每一节的前面会告诉我们这一节是干什么的，下面引理定理的那些步骤可以先跳一跳，文章过完以后，会有一个大体的思路，回过头来你自己再去布细节。如果想不出来，再去看文章中作者是怎么做的。这样读文章，效率比较高，而且会真正读懂，并掌握作者的证明方法与技巧。类似读故事书，读到大的悬念和矛盾冲突的时候，不要着急看书上怎么写的，自己先想一想，‘我如果面临这样的困境应该怎么办？’这样才能学到作者的智慧，甚至有时找到比作者更高明的手法。”

“先读大的方面，就是文章的目标和工具，然后读大致的证明脉络，再去看小的细节怎么迈过去。好的文章值得读好几遍，不要指望第一次就把每个细节搞清楚，否则你走着走着就晕掉了。”

“科研选题要有一定价值和意义，确定一个比较靠谱的，相信你能做出来的题目。数学上的大局观和直觉对选题很有帮助，文献读多了就会有感觉。证明时文献可能就帮助不大了，主要看平常的积累和数学素养，通常也要有‘吃不下饭，睡不着觉’的经历，不是因为紧张，而是全部注意力都放在研究课题上时的工作状态。”

二、从知识到学术：章老师的教学方法与经验

博士毕业后，章复熹留校任教，正式成为‘章老师’。读博期间，得益于北大数学系（学院）优良的教学传统与博士培养方式，她积累了丰富的授课经验。研究生期间每学期都会有讨论班，一般会针对一本书，“比如我们研究方向的专业书籍，或是比较新的论文集，其中会涉及到这个方向的重要文献，以及一些基本的方法和研究问题”。这不光是为科研打基础，也是对教学能力的良好训练。讨论班的形式是由研究生上台主讲，导师和其他同学坐在下面提出问题，大到逻辑顺序是否合理，小到板书是否整齐、语速是否太快等等，听众都会有反馈，老师也都会有点评。比如老师会讲，“不要上来就讲定义，你可以先引出一个问题，为了解决这个问题，我要关注什么量，最后再定义那个量。”这类授课经验代代传承。除了钱敏先生，在讨论班上章老师还受到陈大岳、王冠香、刘培东、王正栋等多位前辈的悉心指导，每位老师都有自己独到的风格，“换一个老师会换一种风格，会给我一些新的帮助”。

课堂好比舞台，容不得半点疏忽。章老师刚开始“教学”就非常认真、投入，提前两周到一个月的时间为讨论班备课，先一行一行认真书写教案，再背诵教案。为了模拟课堂效果，她还专门请了一位师姐，单独讲一次，请她挑毛病。随着工作经验的不断积累，她渐渐能够独当一面，形成自己的授课风格。

虽然现在每门课都有成熟的教材，但讲义、授课与教材是不一样的，老师的作用也在于此。书上概念的定义表述会尽量严谨，但给初学者讲时，为把一些概念讲得更直观、便于理解，老师要根据自己对数学的理解去解释和延伸。

“备课时要从别的参考书上去找有趣的例子，或者是让学生从更多的视角去看到这个东西，不能照本宣科、只讲定义和公式。著名理论物理学家费曼（编者注：Richard Phillips Feynman，1918—1988，1965年诺贝尔物理学奖获得者）就善于从例子中理解数学公式，并且迅速抓住要点。我们每一个例子都不能是前一个例子的重复，必须要带给学生新东西，视角上或方法上的。对于非数学专业的学生，要侧重于理解和应用，重点讲解定义、定理、公式的含义，举一些例子帮他们理解。但如果我们教的是专业课，就要告诉学生这个知识点在学科当中会出现哪些知识面，课堂上要花10%到20%的时间去帮他们拓展，往高处看，让他们看到将来一些高级的研究工具，或者是看到一些前沿学科的内容。学生听了有时就会有感觉，说，‘老师我喜欢这个数学模型。’我说非常好，我们这里有老师是做这个方向的，你可以去跟他做本研；或者说如果你想出国读书，哪个学校在这个领域最强。学生往上走的时候，要把他们送到最核心的地方去。我们的学生，有一些就已经成长为前沿领域里年轻人中的领头人。”

章老师在教学中会不断根据同学们的反馈调整教学上的内容和事例。“有些定义和公式, 教材上就是一句，课上我要解释这个定义和公式的含义。比如，‘期望’是随机变量的平均值，可以用时间上的大规模采样去算它的平均值，也可以用空间上的加权平均去算。而‘条件期望’直观来说就是分区域去算平均值。我第一次上课的时候，就给学生们打比方，就像一块调色板，你有一块很大的板，每个点上涂一点颜色，条件期望是什么？就是我画出一片小区域，然后拿个小画笔把这个区域上的颜色混合，比如说蓝色和黄色就会混成绿色，混合后你大面上看就是一块一块的被混过的颜色，这就是条件期望的‘分区域求平均’的含义。但课后有一个成绩挺好的学生跟我说，‘老师，我在预习的时候其实自己想得挺明白的，您调色板的比喻出来后，我整个脑子就乱了’。我就意识到自己这个例子举得不太好，下次上课就会调整。”

按章老师的教学方法与思路，一门课在横向和纵向维度上都要花很大的精力准备。讲什么，怎么讲，都要反复斟酌。要让学生听了感觉够得着，并能够欣赏，这样的话学生才会有兴趣。”

在帮助同学们学好数学，保证教学效果方面，章老师还有两项看似简单，但非常有效的方法。一是要求做好预习，二是要求按时完成作业。这也是章老师在学生时代的学习经验。

她会将每次课程的幻灯片提前两三天发给同学们，并在微信群里告知大家哪个知识点比较难，督促同学们提前预习，以免容易跟不上进度。“如果预习了，老师讲的时候，学生就可以有针对性地听。”对数学来说，如果哪一步没跟上，后面就很容易脱节。预习看似多花一些时间，实际提高了课堂效率，节省了课后复习时间，学习效果也会更好。

“作业拖延症”在大学生中不算少见。章老师对此的态度很鲜明：绝不接受。布置作业时，她会明确强调不允许迟交，迟交的作业不算分。“作业占总成绩的20分，如果得不到，学生肯定是很‘心疼’的。说实话，看到学生无比失望的神情我也不舒服，但我一定要用这种方式让他知道今后要做一个有责任的人，绝不能养成坏习惯。”时间长了，章老师对作业的严格要求“名声在外”。对于“抄作业”的现象，章老师并没有“一刀切”式禁止，“如果学生真的不会做，他去拿了别人的作业来看解题的方法，然后自己默写一遍，其实也是可以的。但如果学生是一个字一个字跟着抄，完全没有自己的思路，也没有读懂这道题，这是要坚决反对的。因为这样的话他到考试时还是不会，这个知识点一直是缺漏的。”

三、象牙塔里的困境：对同学们的建议与期望

北大作为研究型大学，让学生具有一定的科研能力是一项重要的培养目标，北大本科生也会受到科研上的引导和训练。毕业后真正从事科学研究的毕竟是少数人，所以在教学中要让学生明白什么是科研、如何做科研、自己适不适合做科研等问题，为学生未来的发展与选择提供指导。

章老师认为，研究跟学习是很不一样的，学习是走别人走过的路，研究是要探索未知。做研究一定要对研究本身感兴趣，关注点不能是研究有成果以后可能的名与利。章老师喜欢一句话：工作本身就是一个呼召。没有这种感觉，就很可能会感到迷茫甚至因外界的干扰或诱惑而放弃。她对自己的研究与教学工作就是这种感觉：“不管将来做到什么程度，我不在乎能得到什么，因为在工作中我已经很享受自己的生命了。”“我特别喜欢教书，喜欢看到别人进步的状态，时刻感受到自己被需要，这种感觉很好。希望学生们能够有更大的进步，我就很开心了。”

在章老师看来，概率论这一方向的理论色彩较浓，与纯数学很像，“实用性”比较有限，需要研究者有充分的心理预期。“有可能你时间投入了，热情投入了，精力投入了，到最后没证出结果。”“你要衡量自己会不会沮丧、会不会抑郁，这些都要考虑清楚。”

在指导研究生方面，章老师认为硕士阶段更多地是培养学生的表达、学习能力，以及与人打交道的能力。以后工作的时候要能把自己的思想表达清楚，要能够听得懂别人在讲什么。博士阶段的培养目标则是希望学生能够继续在科研领域有所突破，更看重论文的写作和积累，以便为今后的学术创新打下坚实的基础。

研究工作做得如何不光是能力问题，心理状态的调整也很重要。很多同学在来北大之前都是尖子生，进来后，总会有排名靠后甚至最后几名的学生。学会接纳自己，是多数同学在大学期间需要有的心理调节能力。在北大数院这个群英荟萃、“神仙打架”的地方，“绩点焦虑”和“内卷压力”难免压得学生喘不过气来。去年受疫情影响，保研的竞争愈发激烈。对学生面临的困境章老师颇有感触，她建议每个人对自己的接纳程度不妨宽一点，同时她也会尽可能去鼓励和关怀学生，引导学生接纳自己。

在章老师看来，人和人的交往其实有很强的治愈作用，她鼓励同学之间多讨论，有时这种交流比老师答疑还要奏效。除了专业问题，还可以交流社会热点、兴趣爱好等话题。北大学生之前都是学习的强者，但“强者”也有脆弱的时候，需要相互帮助。

四、特别的礼物：那些被孩子温暖的时光

章复熹育有一对儿女。生活中，因为孩子，她爱上了厨艺。“我很喜欢看他们吃东西，看他们玩，特别享受，感觉内心充满了极大的喜乐和满足。”章复熹认为，作为妈妈，应该多看孩子的优点，鼓励他们。儿子从小学钢琴，章复熹不要求他考级，而是在他自学沙漠骆驼、哈利波特、加勒比海盗时，坐在一旁欣赏他，夸赞他；儿子喜欢唱歌，章复熹就请教儿子呼吸咬字之法，感谢他这个小老师。“女儿还小，多陪她玩就行了。”章复熹说，每个孩子都是一份特别的礼物，她希望自己能尽量带给孩子们安全感，让他们敢做真正的自己。

人物简介

章复熹，女，1977年生，博士，北京大学数学科学学院副教授。1994年作为数学竞赛生保送到北京大学数学（系）学院，分别于1998、2001、2004年获北京大学学士、硕士、博士学位，攻读博士研究生期间在Ergodic Theory and Dynamical Systems等杂志共发表三篇论文并被Sci收录。2004年6月博士毕业后留校任教至今，主要研究方向为概率论，在Probability Theory and Related Fields, Communications in Mathematical Physics等杂志发表多篇论文。主讲课程包括概率论、概率论与数理统计、随机过程引论/应用随机过程、测度论、高等概率论、随机过程、随机数学等。

策划：教师教学发展中心、数学科学学院

采访记者：郭九苓，杨帆

录音整理：杨帆

文字编辑：徐韫琪，郭九苓

图片：Dai HBG